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备战2018年中考数学高端精品攻破特色专题之图形折叠类问题  

2018-04-13 22:43:11|  分类: 数学知识 |  标签: |举报 |字号 订阅

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备战2018年中考数学高端精品攻破特色专题之图形折叠类问题

中高考数学名师张芙华 

备战2018年中考数学高端精品攻破特色专题之图形折叠类问题

备战2018年中考数学高端精品攻破特色专题之图形折叠类问题 - 行者 - wangkeqin 的博客

【考点综述评价】

折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°,使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠,其中“折”是过程,“叠”是结果.折叠问题的实质是图形的轴对称变换,折叠更突出了轴对称问题的应用.

折叠(或翻折)在三大图形变换中是比较重要的,考查得较多,无论是选择题、填空题,还是解答题都有以折叠为背景的试题.常常把矩形、正方形的纸片放置于直角坐标系中,与函数、直角三角形、相似形等知识结合,贯穿其他几何、代数知识来设题.

根据轴对称的性质可以得到:折叠重合部分一定全等,折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴;互相重合两点(对称点)之间的连线必被折痕垂直平分;对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相等;对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等.在解题过程中要充分运用以上结论,借助辅助线构造直角三角形,结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题.

【考点分类总结】

考点1:折叠后图形判断

【典型例题】把一张长方形纸片按如图 ①,图 ② 的方式从右向左连续对折两次后得到图 ③,再在图 ③ 中挖去一个如图所示的三角形小孔,则重新展开后得到的图形是

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【分析】解答该类剪纸问题,通过自己动手操作即可得出答案.

【解答】重新展开后得到的图形是C ,故选C.

【方法归纳】

对折叠图形的判断,可以通过空间想象,找出相等的边与角,转化为角度的判断.

【变式训练】

如图,下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成,每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影,请在空白小正方形中,按下列要求涂上阴影.

(1)在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影,使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形;

(2)在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影,使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形,但不是中心对称图形.

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考点2:折叠后度数判断

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【方法归纳】

在折叠问题中,利用对称性可得到相等的角和边.

【变式训练】

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考点3:折叠后线段长度判断

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【方法归纳】

在折叠问题中,利用对称性可得到相等的线段,通过三角形相似、勾股定理列出方程求解.

折叠问题转化为轴对称问题,利用勾股定理和相似求出未知线段,最后把所求的线段转化到直角三角形中去处理.

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【变式训练】

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考点4:折叠后周长面积计算

【典型例题】如图,正方形ABCD 中,AD =4,点E 是对角线AC 上一点,连接DE ,过点E 作EF ⊥ED ,交AB 于点F ,连接DF ,交AC 于点G ,将 △EFG 沿EF 翻折,得到 △EFM ,连接DM ,交EF 于点N ,若点F 是AB 的中点,则 △EMN 的周长是.

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【方法归纳】

在折叠问题中,利用对称性可得到相等的角、全等的图形和相等的面积.

【变式训练】

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考点5:折叠后结论探讨

【典型例题】折纸的思考.

【操作体验】

用一张矩形纸片折等边三角形.

第一步,对折矩形纸片ABCD (AB >BC )(图 ①),使AB 与DC 重合,得到折痕EF ,把纸片展平(图 ②).

第二步,如图 ③,再一次折叠纸片,使点C 落在EF 上的P 处,并使折痕经过点B ,得到折痕BG ,折出PB ,PC ,得到 △PBC .

(1)说明 △PBC 是等边三角形.

【数学思考】

(2)如图 ④,小明画出了图 ③ 的矩形ABCD 和等边三角形PBC ,他发现,在矩形ABCD 中把 △PBC 经过图形变化,可以得到图 ⑤ 中的更大的等边三角形,请描述图形变化的过程.

(3)已知矩形一边长为3 cm ,另一边长为a cm ,对于每一个确定的a 的值,在矩形中都能画出最大的等边三角形,请画出不同情形的示意图,并写出对应的a 的取值范围.

【问题解决】

(4)用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4 cm 和1 cm 的直角三角形铁片,所需正方形铁片的边长的最小值为cm .

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【方法归纳】

解决折叠问题时,一是要对图形折叠有准确定位,抓住图形之间最本质的位置关系,从点、线、面三个方面入手,发现其中变化的和不变的量,发现图形中的数量关系;二是要把握折叠的变化规律,充分挖掘图形的几何性质,将其中的基本的数量关系用方程的形式表达出来.

【变式训练】

实验探究:

(1)如图1,对折矩形纸片ABCD ,使AD 与BC 重合,得到折痕EF ,把纸片展开;再一次折叠纸片,使点A 落在EF 上,并使折痕经过点B ,得到折痕BM ,同时得到线段BN ,MN .请你观察图1,猜想 ∠MBN 的度数是多少,并证明你的结论.

(2)将图1中的三角形纸片BMN 剪下,如图2,折叠该纸片,探究MN 与BM 的数量关系,写出折叠方案,并结合方案证明你的结论.

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