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高考数学:数学压轴题的意图  

2018-04-13 22:54:03|  分类: 数学知识 |  标签: |举报 |字号 订阅

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高中数学李老师 

今天我们一起来看2016年全国I卷理科数学压轴题的第1问:

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先求导函数及其零点

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此方程有没有解取决于a的符号,下面对a的符号进行分类讨论

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紧接着,我们研究两个极限值

画出函数f(x)的草图如下

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由图可知,函数f(x)有两个零点,符合题意。

由上可知,函数f(x)只有一个零点。

我们又遇到新的问题,就是两根的大小关系不确定,为此需要进一步讨论。

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由上图可知,此时f(x)只有一个零点,不符合题意。

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由上图可知,此时f(x)只有一个零点,不符合题意。

还有最后一种情况要讨论:

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为满足f(x)有两个零点,在x=ln(-2a)处的函数值必须为0。

我们通过计算验证这种情况是否能发生。

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所以,这种情况也不符合题意。

综上所述,满足题意的a的取值范围为a>0。

下面介绍方法2:分离参数法

从方法1我们能看到,分类讨论的方法非常繁杂,需要解题人具备深厚的数学功底。

为避开讨论,我们采用分离参数的方法,当然,每种方法都有自己的难处,我们在后面会讲到。

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下面研究函数g(x)的相关性质。

由导函数能够研究函数g(x)的单调性。

下面我们研究函数g(x)的零点。

显然x=2是函数g(x)的零点。

为准确画出函数g(x)的图象,我们还需要研究几个极限值。

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前面2个极限值比较好理解,第3个极限值我们多解释一下。

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结合上述性质,我们能够画出函数g(x)的图象:

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为使得原函数有两个零点,则函数y=g(x)与函数y=a有两个交点,如上图所示,则a的取值范围是a>0。

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