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2018年中考数学快速提分之相似三角形问题的黄金解题模板  

2018-04-19 22:36:32|  分类: 数学知识 |  标签: |举报 |字号 订阅

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2018年中考数学快速提分之相似三角形问题的黄金解题模板

中高考数学名师张芙华 

2018年中考数学快速提分之相似三角形问题的黄金解题模板

2018年中考数学快速提分之相似三角形问题的黄金解题模板 - 行者 - wangkeqin 的博客

因动点产生的相似三角形问题,常常出现在综合题中.

一是以几何图形为载体,赋予动点、动线和动面,来探究相似三角形问题,进而研究面积、函数最值等问题;二是以动态问题为背景或与函数图象、圆结合探究相似三角形的存在性问题;三是以相似三角形为背景,经历“问题情境,建立模型,求解,应用”的基本过程,设置探究性问题.问题设置常常具有开放性.

相似三角形由于对应边、对应角的不确定,或者是图形的不确定,常常需要进行分类讨论,解题时根据对应角或对应边来分类.要注意确定分类标准,按一个标准进行分类,做到“不重复,不遗漏”.

接下来我们就从相似三角形的三个考点来具体分析。

考点1:利用三角形相似与图象的判断

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【分析】(1)由P 、E 、D 的坐标可表示出PA 、EP 、PC 和DP 的长,可证明 △EPD ∽△CPA,利用相似三角形的性质可证得结论;

(2)连接AD 、EC ,可证明 △AEC ≌△CDA,可得CD =AE ,把A 、C 坐标代入直线l 解析式,可求得k 的值;

(3)假设在线段AT 上存在点M ,使得OM ⊥AM ,连接OM 、OA ,可表示出C 、F 、P 、B 的坐标,利用直线BF 的解析式可求得a 的值,可求得A 点坐标,可求得T 点坐标,在 △OAT 中,利用等积法可求得OM 的长,在Rt OMT 中可求得MT 的长,作MN ⊥x 轴,同理可求得MN 的长,则可求得ON 的长,可判断N 在线段BT 上,满足条件,从而可知存在满足条件的M 点.

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【方法归纳】

利用相似三角形,得出比例式,代入得出函数关系式,结合图象进行判断.

【变式训练】

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考点2:相似三角形中的开放性问题

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【分析】(1)由 △CPD ∽△CEB 证得结论;

(2)先证△EPC∽△BDC,得到∠PEC=∠DBC.由AC⊥BC,得到∠ACB+∠DBC=180°,即可得到结论;

(3)如图所示,过点P 作PF ⊥BD .交DB 的延长线于点F .通过解直角三角形、(2)中相似三角形的对应边成比例和三角形的面积公式写出函数关系式即可.

【方法归纳】

两个三角形相似,根据不同的对应边或对应角需要分类讨论.

【变式训练】

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【分析】(1)根据待定系数法直接抛物线解析式;

(2)分两种情况,利用相似三角形的比例式即可求出点D 的坐标;

(3)先求出直线BC 的解析式,进而求出四边形CHEF 的面积的函数关系式,即可求出最大值;

(4)利用对称性找出点P ,Q 的位置,进而求出P ,Q 的坐标.

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考点3:相似三角形的存在性问题

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【方法归纳】

一是求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边和角的特点,进而得出已知三角形是否为特殊三角形,根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论;二是利用已知三角形中的对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小;三是若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用相似来列方程求解.

【变式训练】

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